NumPy - 数值计算基础
一、简介
NumPy（Numerical Python）是 Python 科学计算的基础库，提供高性能的多维数组对象和数学函数。
1.1 安装与导入
1.2 核心优势
- 高性能：底层 C 实现，比 Python 列表快 10-100 倍
- 向量化操作：避免显式循环
- 广播机制：不同形状数组间的运算
- 内存效率：连续内存存储
二、数组创建
2.1 从列表创建
# 一维数组
arr = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
# 二维数组
arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
# 指定数据类型
arr = np.array([1, 2, 3], dtype=np.float32)
arr = np.array([1, 2, 3], dtype=np.int64)
2.2 内置函数创建
# 全零数组
np.zeros(5) # [0., 0., 0., 0., 0.]
np.zeros((3, 4)) # 3x4 全零矩阵
# 全一数组
np.ones(5)
np.ones((2, 3))
# 单位数组（主对角线为 1）
np.eye(3) # 3x3 单位矩阵
np.identity(3)
# 空数组（未初始化）
np.empty((2, 3))
# 指定值填充
np.full((2, 3), 7) # 2x3 全为 7
np.full_like(arr, 5) # 与 arr 同形状
# 对角数组
np.diag([1, 2, 3])
2.3 序列创建
# arange（类似 range）
np.arange(10) # [0, 1, 2, ..., 9]
np.arange(0, 10, 2) # [0, 2, 4, 6, 8]
np.arange(0, 1, 0.1) # 支持浮点步长
# linspace（等间距）
np.linspace(0, 1, 5) # [0., 0.25, 0.5, 0.75, 1.]
np.linspace(0, 10, 11, endpoint=True)
# logspace（对数间距）
np.logspace(0, 2, 5) # 10^0 到 10^2，5 个点
# 随机数组
np.random.rand(3, 4) # [0, 1) 均匀分布
np.random.randn(3, 4) # 标准正态分布
np.random.randint(0, 10, (3, 4)) # 整数
np.random.random((3, 4)) # [0, 1) 随机浮点数
2.4 array() 与 asarray()
array() 和 asarray() 都可以将输入数据转换为 ndarray，关键区别在于是否复制内存。
2.5 数据类型与转换
| 类型代码 | 说明 |
|---|---|
bool / ? |
布尔类型 |
int8 / i1 |
有符号 8 位整型（1 字节） |
int32 / i4 |
有符号 32 位整型（4 字节） |
int64 / i8 |
有符号 64 位整型（8 字节） |
float32 / f4 |
单精度浮点 |
float64 / f8 |
双精度浮点（默认） |
complex64 / c8 |
复数（两个 32 位浮点） |
complex128 / c16 |
复数（两个 64 位浮点） |
# 创建时指定类型
arr = np.array([1, 2, 3], dtype=np.float64) # [1. 2. 3.]
# astype() 类型转换
arr = np.array([1.2, 2.5, 4.8])
arr.astype(np.int64) # [1, 2, 4] 截断取整
arr.astype("i8") # 支持类型代码字符串
三、数组属性
arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
arr.ndim # 维度数：2
arr.shape # 形状：(2, 3)
arr.size # 元素总数：6
arr.dtype # 数据类型：int32
arr.itemsize # 每个元素字节数：4
arr.nbytes # 总字节数：24
四、数组索引与切片
4.1 基本索引
arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
# 一维索引
arr[0] # [1, 2, 3]
arr[0, 1] # 2
arr[0][1] # 2
# 负索引
arr[-1] # [7, 8, 9]
arr[-1, -1] # 9
4.2 切片
arr = np.array([[1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12]])
# 行切片
arr[0:2] # 前两行
arr[:2] # 前两行
arr[1:] # 第二行及以后
# 列切片
arr[:, 0:2] # 前两列
arr[:, ::2] # 奇数列
# 组合切片
arr[0:2, 1:3] # 第 0-1 行，第 1-2 列
arr[::2, ::2] # 隔行隔列
4.3 花式索引
arr = np.array([10, 20, 30, 40, 50])
# 数组索引
arr[[0, 2, 4]] # [10, 30, 50]
# 二维花式索引
arr2d = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
arr2d[[0, 2]] # 第 0 行和第 2 行
arr2d[[0, 2], [1, 2]] # (0,1) 和 (2,2) -> [2, 9]
# 布尔索引
arr = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
arr[arr > 3] # [4, 5, 6]
arr[arr % 2 == 0] # [2, 4, 6]
arr[(arr > 2) & (arr < 5)] # [3, 4]
# 条件赋值
arr[arr > 3] = 0 # 大于 3 的置零
np.where(arr > 3, 1, 0) # 大于 3 返回 1，否则返回 0
4.4 视图（View）与副本（Copy）
视图与原数组共享内存，修改视图会影响原数组；副本拥有独立内存，互不影响。
切片操作返回的是视图，修改视图会影响原数组。
常见操作返回视图还是副本：
| 操作 | 返回类型 |
|---|---|
arr[:] 切片 |
视图 |
.reshape() |
视图 |
.T / .transpose() |
视图 |
.ravel() |
尽量返回视图 |
.flatten() |
副本 |
.astype() |
副本 |
.copy() |
副本 |
五、数组形状操作
5.1 重塑
arr = np.arange(12)
# reshape
arr.reshape(3, 4) # 3x4
arr.reshape(2, 6) # 2x6
arr.reshape(3, -1) # 自动计算列数
arr.reshape(-1, 4) # 自动计算行数
# 原地修改
arr.resize(3, 4)
# 展平
arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
arr.flatten() # [1, 2, 3, 4]，返回副本
arr.ravel() # [1, 2, 3, 4]，返回视图（可能）
5.2 转置
arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
arr.T # 转置
arr.transpose() # 转置
np.transpose(arr)
# 多维转置
arr3d = np.arange(24).reshape(2, 3, 4)
arr3d.transpose(1, 0, 2) # 交换第 0 和第 1 维
5.3 合并与分割
# 合并
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
np.concatenate([a, b]) # [1, 2, 3, 4, 5, 6]
np.vstack([a, b]) # 垂直堆叠
np.hstack([a, b]) # 水平堆叠
np.stack([a, b], axis=0) # 新增维度堆叠
# 分割
arr = np.arange(12).reshape(3, 4)
np.split(arr, 3) # 分成 3 份
np.split(arr, [1, 3], axis=1) # 在第 1、3 列分割
np.vsplit(arr, 3) # 垂直分割
np.hsplit(arr, 2) # 水平分割
六、数组运算
6.1 算术运算
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
# 基本运算（逐元素）
a + b # [5, 7, 9]
a - b # [-3, -3, -3]
a * b # [4, 10, 18]
a / b # [0.25, 0.4, 0.5]
a ** 2 # [1, 4, 9]
a % 2 # [1, 0, 1]
# 比较运算（返回布尔数组）
a > 1 # [False, True, True]
a == b # [False, False, False]
# 数学函数
np.add(a, b)
np.subtract(a, b)
np.multiply(a, b)
np.divide(a, b)
np.power(a, 2)
np.sqrt(a)
np.exp(a)
np.log(a)
np.log10(a)
6.2 统计函数
arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
# 基本统计
arr.sum() # 21
arr.mean() # 3.5
arr.std() # 标准差
arr.var() # 方差
arr.min() # 1
arr.max() # 6
arr.argmin() # 最小值索引
arr.argmax() # 最大值索引
# 按轴统计
arr.sum(axis=0) # 列求和：[5, 7, 9]
arr.sum(axis=1) # 行求和：[6, 15]
arr.mean(axis=0) # 列均值
arr.mean(axis=1) # 行均值
# 累积运算
arr.cumsum() # 累积和
arr.cumprod() # 累积乘积
axis 参数理解
axis 指定统计计算沿哪个轴进行：
axis=0：沿垂直方向（跨行计算），对列做统计 → 结果中行的维度消失axis=1：沿水平方向（跨列计算），对行做统计 → 结果中列的维度消失
可以这样记忆：axis=0 压扁行，axis=1 压扁列。
6.3 广播机制
广播（Broadcasting）允许不同形状的数组之间进行元素级运算，是 NumPy 的核心机制之一。
广播三规则
- 维度补 1：维度数不同时，小维度数组的形状在最左边补 1
- 沿 1 扩展：维度不匹配时，沿大小为 1 的维度复制扩展
- 报错条件：维度不匹配且没有任何维度为 1，抛出
ValueError
# 数组与标量
arr = np.array([1, 2, 3])
arr + 10 # [11, 12, 13]
# 不同形状数组
a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) # (2, 3)
b = np.array([10, 20, 30]) # (3,)
a + b # 广播加法
c = np.array([[10], [20]]) # (2, 1)
a + c # 广播加法
七、线性代数
import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
# 矩阵乘法
np.dot(A, B) # 或 A @ B
A @ B # Python 3.5+ 推荐写法
# 矩阵运算
A.T # 转置
np.linalg.inv(A) # 逆矩阵
np.linalg.det(A) # 行列式
np.trace(A) # 迹
# 特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
# 解线性方程组 Ax = b
b = np.array([1, 2])
x = np.linalg.solve(A, b)
# 奇异值分解
U, S, Vt = np.linalg.svd(A)
# 范数
np.linalg.norm(A) # Frobenius 范数
np.linalg.norm(A, ord=2) # 2-范数
np.linalg.norm(A, axis=0) # 按列
八、常用技巧
8.1 布尔操作
arr = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
# 条件筛选
np.where(arr > 3, arr, 0) # [0, 0, 0, 4, 5, 6]
np.where(arr > 3, 1, -1) # [-1, -1, -1, 1, 1, 1]
# 提取元素
np.extract(arr > 3, arr) # [4, 5, 6]
# 非零元素
np.nonzero(arr > 3) # 返回索引
# 布尔统计
(arr > 3).sum() # True 的数量
(arr > 3).any() # 是否有 True
(arr > 3).all() # 是否全为 True
8.2 排序与搜索
arr = np.array([3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6])
# 排序
np.sort(arr) # [1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9]
arr.sort() # 原地排序
# 排序索引
np.argsort(arr) # 排序后的索引
# 搜索
np.searchsorted(np.sort(arr), 4) # 插入位置
# 唯一值
np.unique(arr) # [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9]
np.unique(arr, return_counts=True) # 返回计数
# 集合操作
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([2, 3, 4])
np.intersect1d(a, b) # 交集
np.union1d(a, b) # 并集
np.setdiff1d(a, b) # 差集